Persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak
Siti NurJanah
X IPS 2
Persamaan Dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Tanda nilai mutlak yang disimbolkan dengan dua buah garis yang mengapit suatu persamaan. andai nilai dalam tanda mutlak lebih besar dari nol maka nilai fungsinya ialah positif. Kondisi sebaliknya juga bisa berlaku, andai nilai dalam tanda mutlak lebih kecil dari nol maka nilai fungsinya ialah negatif. namun jika nilai yang diberikan kedalam tanda ialah nol maka nilainya juga akan menjadi nol.
Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Mengambil nilai mutlak dari persamaan nilai mutlak ternyata sangat mudah.
Dengan mengikuti dua aturan yang penting seperti yang telah dibahas sebelumnya sudah bisa menentukan nilai mutlaknya. Yang intinya, nilainya akan positif jika fungsi di dalam tanda mutlak itu lebih dari nol. Dan akan menjadi bernilai negatif andai fungsi di dalam tanda mutlaknya kurang dari nol.
Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 7| = 3
Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 7| = 3 ⇔ 2x - 7 = 3 atau 2x - 7 = -3
|2x - 7| = 3 ⇔ 2x = 10 atau 2x = 4
|2x - 7| = 3 ⇔ x = 5 atau x = 2
Jadi, HP = {2, 5}.
Contoh 2
Tentukan HP dari |2x - 1| = |x + 4|
Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 1| = |x + 4|
⇔ 2x - 1 = x + 4 atau 2x - 1 = -(x + 4)
⇔ x = 5 atau 3x = -3
⇔ x = 5 atau x = -1
Jadi, HP = {-1, 5}.
Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| < 7
Jawab :
Berdasarkan sifat b :
|2x - 1| < 7 ⇔ -7 < 2x - 1 < 7
|2x - 1| < 7 ⇔ -6 < 2x < 8
|2x - 1| < 7 ⇔ -3 < x < 4
Jadi, HP = {-3 < x < 4}.
Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6
Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|4x + 2| ≥ 6 ⇔ 4x + 2 ≤ -6 atau 4x + 2 ≥ 6
|4x + 2| ≥ 6 ⇔ 4x ≤ -8 atau 4x ≥ 4
|4x + 2| ≥ 6 ⇔ x ≤ -2 atau x ≥ 1
Jadi, HP = {x ≤ -2 atau x ≥ 1}.
Contoh 5 (EDIT)
Tentukan penyelesaian dari |3x - 2| ≥ |2x + 7|
Jawab :
Pertaksamaan yang kedua ruasnya memuat tanda mutlak dapat diselesaikan dengan menguadratkan kedua ruas atau dengan menggunakan sifat :
|a| ≥ |b| ⇔ (a + b)(a - b) ≥ 0
Berdasarkan sifat diatas,
|3x - 2| ≥ |2x + 7|
⇔ ((3x - 2) + (2x + 7)) ((3x - 2) - (2x + 7) ≥ 0
⇔ (5x + 5) (x - 9) ≥ 0
Pembuat nol :
x = -1 atau x = 9
Dengan uji garis bilangan diperoleh
HP = {x ≤ -1 atau x ≥ 9}
Contoh 6
Tentukan HP dari 2 < |x - 1| < 4
Jawab :
Ingat : a < x < b ⇔ x > a dan x < b
Jadi, pertaksamaan 2 < |x - 1| < 4 ekuivalen dengan
|x - 1| > 2 dan |x - 1| < 4
Berdasarkan sifat c :
|x - 1| > 2 ⇔ x - 1 < -2 atau x - 1 > 2
|x - 1| > 2 ⇔ x < -1 atau x > 3 ................(1)
Berdasarkan sifat b :
|x - 1| < 4 ⇔ -4 < x - 1 < 4
|x - 1| < 4 ⇔ -3 < x < 5 ............................(2)
Irisan dari (1) dan (2) diperlihatkan oleh garis bilangan berikut
Jadi, HP = {-3 < x < -1 atau 3 < x < 5}
Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak
Pertidaksamaan nilai mutlak ialah jenis pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak didalamnya. Nilai mutlak menghitung jarak pada suatu angka dari 0—misalnya, |x| mengukur jarak x dari nol. Pertidaksamaan nilai mutlak bisa ditemukan dan di terapkan dalam simetri, batas-batas simetris, ataupun kondisi batas. Pahami dan selesaikan jenis-jenis pertidaksamaan ini dengan beberapa langkah yang sederhana, baik dengan cara evaluasi ataupun transformasi.
Langkah 1
Evaluasi pada bentuk pertidaksamaan nilai mutlak. Seperti yang sudah disebutkan di atas, nilai mutlak x, yang dinotasikan dengan |x|, didefinisikan sebagai berikut:
Pertidaksamaan nilai mutlak umumnya mempunyai salah satu bentuk berikut:
|x| < a atau |x|> a ; |x±a| < b ataupun |x±a| > b ; |ax2+bx| < c
pada artikel ini, fokusnya ialah pertidaksamaan dengan bentuk |f(x)|< a maupun |f(x)| > a , dengan f(x) berupa fungsi apapun dan a ialah kosntanta.
Langkah 2
mengubah terlebih dahulu pertidaksamaan nilai mutlak hingga menjadi pertidaksamaan biasa. Ingat bahwa nilai mutlak dari x bisa bernilai x positif ataupun x negatif. Pertidaksamaan nilai mutlak |x| < 3 juga bisa dirubah jadi dua pertidaksamaan: -x < 3 dan x < 3.
Contoh,│x−3│>5 bisa dirubah jadi – (x-3) > 5 ataupun x-3 > 5.
|3x+2| < 5 bisa dirubah jadi – (3x+2) < 5 ataupun 3x+2 < 5.
Istilah “atau” diatas memiliki arti bahwa kedua pertidaksamaan itu memenuhi persyaratan soal nilai mutlak
Langkah 3
Abaikan saja tanda pertidaksamaan ketika mencari nilai x untuk persamaan yang pertama. Jika membantu, ubah saja tanda pertidaksamaan jadi tanda sama dengan hingga bagian akhir hanya untuk sementara.
Langkah 4
Cari nilai x seperti yang biasanya di lakukan. Ingat bahwa jika membagi dengan angka negatif untuk menyendirikan x ke salah satu sisi dari tanda pertidaksamaan, harus membalik tanda pertidaksamaannya. contohmya, jika membagi kedua sisi dengan -1, -x > 5 bisa menjadi x < -5.
Langkah 5
Tulis himpunan penyelesaian. Dari nilai di atas, perlu menulis jangkauan nilai yang bisa disubstitusikan ke x. Jangkauan nilai ini sering juga disebut sebagai himpunan penyelesaian. Karena harus menyelesaikan dua pertidaksamaan dari pertidaksamaan nilai mutlak tersebut, maka akan mempunyai dua penyelesaian. pada contoh yang dipakai di atas, penyelesaiannya bisa ditulis dengan dua cara yaitu:
-7/3 < x < 1
(-7/3,1)
Menggunakan Definisi untuk Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Dalam menyelesaikan persamaan dan pertaksamaan nilai mutlak bentuk linier dengan menggunakan definisi, akan sangat membantu jika bentuk |ax + b| kita jabarkan menjadi
|ax + b| = ax + b jika x ≥ -b/a
|ax + b| = -(ax + b) jika x < -b/a
Contoh 7
Jabarkan bentuk nilai mutlak berikut :
a. |4x - 3|
b. |2x + 8|
Jawab :
a. Untuk |4x - 3|
|4x - 3| = 4x - 3 jika x ≥ 3/4
|4x - 3| = -(4x - 3) jika x < 3/4
b. Untuk |2x + 8|
|2x + 8| = 2x + 8 jika x ≥ -4
|2x + 8| = -(2x + 8) jika x < -4
Contoh 8
Nilai x yang memenuhi persamaan |x - 2| = 2x + 1 adalah...
Jawab :
|x - 2| = x - 2 jika x ≥ 2
|x - 2| = -(x - 2) jika x < 2
Untuk x ≥ 2
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ x - 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ -x = 3
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ x = -3
Karena x ≥ 2, maka x = -3 tidak memenuhi
Untuk x < 2
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ -(x - 2) = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ -x + 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ -3x = -1
|x - 2| = 2x + 1 ⇔ x = 1/3
Karena x < 2, maka x = 1/3 memenuhi.
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = 1/3.
Contoh 9
Tentukan HP dari |x + 1| > 2x - 4
Jawab :
|x + 1| = x + 1 jika x ≥ -1
|x + 1| = -(x + 1) jika x < -1
Untuk x ≥ -1
|x + 1| > 2x - 4 ⇔ x + 1 > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4 ⇔ -x > -5
|x + 1| > 2x - 4 ⇔ x < 5
Irisan dari x ≥ -1 dan x < 5 adalah -1 ≤ x < 5
Untuk x < -1
|x + 1| > 2x - 4 ⇔ -(x + 1) > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4 ⇔ -x - 1 > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4 ⇔ -3x > -3
|x + 1| > 2x - 4 ⇔ x < 1
Irisan dari x < -1 dan x < 1 adalah x < -1
Jadi, HP = {x < -1 atau -1 ≤ x < 5}
Jadi, HP = {x < 5}
Contoh 10
Nyatakan |x - 4| + |2x + 6| tanpa menggunakan simbol nilai mutlak
Jawab :
|x - 4| = x - 4 jika x ≥ 4
|x - 4| = -(x - 4) jika x < 4
|2x + 6| = 2x + 6 jika x ≥ -3
|2x + 6| = -(2x + 6) jika x < -3
Jika interval-interval diatas digambarkan pada garis bilangan akan diperoleh
Untuk x < -3
|x - 4| + |2x + 6| = -(x - 4) - (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = -x + 4 - 2x - 6
|x - 4| + |2x + 6| = -3x - 2
Untuk -3 ≤ x < 4
|x - 4| + |2x + 6| = -(x - 4) + (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = -x + 4 + 2x + 6
|x - 4| + |2x + 6| = x + 10
Untuk x ≥ 4
|x - 4| + |2x + 6| = (x - 4) + (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = x - 4 + 2x + 6
|x - 4| + |2x + 6| = 3x + 2
Komentar
Posting Komentar