PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

Nama: Siti NurJanah

Kelas: X IPS 2

No absen: 34

          PERSAMAAN LINEAR TIGA                                         VARIABEL

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dan Metode Penyelesaiannya:

Sistem persamaan linear tiga variabel terdiri dari beberapa buah persamaan linear dengan tiga variabel. Bentuk umum dari persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut.

ax + by + cz = d

a, b, c, dan d merupakan bilangan real, tapi a, b, dan c tidak boleh semuanya 0. Persamaan tersebut memiliki banyak solusi. Salah satu solusi dapat diperoleh dengan mengumpamakan sembarang nilai pada dua variabel untuk menentukan nilai variabel ketiga.

Sebuah nilai (x, y, z) merupakan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel jika nilai (x, y, z) memenuhi ketiga persamaan yang ada di dalam SPLTV. Himpunan penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu metode substitusi dan metode eliminasi.

Metode Substitusi

Metode substitusi adalah metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara menyubstitusikan nilai salah satu variabel dari satu persamaan ke persamaan lain. Metode ini dilakukan sampai diperoleh semua nilai variabel dalam sistem persamaan linear tiga variabel

Metode substitusi lebih mudah digunakan pada SPLTV yang memuat persamaan berkoefisien 0 atau 1. Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian dengan metode substitusi.

1.Tentukan persamaan yang memiliki bentuk sederhana. Persamaan dengan bentuk sederhana memiliki koefisien 1 atau 0.

2.Nyatakan salah satu variabel dalam bentuk dua variabel lain. Contohnya, variabel x dinyatakan dalam variabel y atau z.

3.Substitusikan nilai variabel yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan lain yang ada di SPLTV, sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

4.Tentukan penyelesaian SPLDV yang diperoleh pada langkah ketiga.

5.Tentukan nilai semua variabel yang belum diketahui. 

Coba kita lakukan contoh soal berikut. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini.

x + y + z = -6 … (1)

x – 2y + z = 3 … (2)

-2x + y + z = 9 … (3)

Pertama, kita dapat mengubah persamaan (1) menjadi, z = -x – y – 6 menjadi persamaan (4). Kemudian, kita dapat menyubstitusikan persamaan (4) ke persamaan (2) sebagai berikut.

x – 2y + z = 3

x – 2y + (-x – y – 6) = 3

x – 2y – x – y – 6 = 3

-3y = 9

y = -3

Setelah itu, kita dapat menyubstitusikan persamaan (4) ke persamaan (3) sebagai berikut.

-2x + y + (-x – y – 6) = 9

-2x + y – x – y – 6 = 9

-3x = 15

x = -5

Kita sudah mendapatkan nilai x = -5 dan y = -3. Kita dapat memasukkannya ke persamaan (4) untuk memperoleh nilai z sebagai berikut.

z = -x – y – 6

z = -(-5) – (-3) – 6

z = 5 + 3 – 6

z = 2

Jadi, kita mendapat himpunan penyelesaian (x, y, z) = (-5, -3, 2) 

Metode Eliminasi

Metode eliminasi adalah metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara menghilangkan salah satu variabel pada dua buah persamaan. Metode ini dilakukan sampai tersisa satu buah variabel.

Metode eliminasi dapat digunakan pada semua sistem persamaan linear tiga variabel. Tapi metode ini memerlukan langkah yang panjang karena tiap langkah hanya dapat menghilangkan satu variabel. Diperlukan minimal 3 kali metode eliminasi untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV. Metode ini lebih mudah jika digabung dengan metode substitusi.

Langkah-langkah penyelesaian menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut.

Amati ketiga persamaan pada SPLTV. Jika ada dua persamaan yang nilai koefisiennya sama pada variabel yang sama, kurangkan atau jumlahkan kedua persamaan agar variabel tersebut berkoefisien 0.

Jika tidak ada variabel berkoefisien sama, kalikan kedua persamaan dengan bilangan yang membuat koefisien suatu variabel pada kedua persamaan sama. Kurangkan atau jumlahkan kedua persamaan agar variabel tersebut berkoefisien 0.

Ulangi langkah 2 untuk pasangan persamaan lain. Variabel yang dihilangkan pada langkah ini harus sama dengan variabel yang dihilangkan pada langkah 2.

Setelah diperoleh dua persamaan baru pada langkah sebelumnya, tentukan himpunan penyelesaian kedua persamaan menggunakan metode penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

Substitusikan nilai dua variabel yang diperoleh pada langkah ke-4 pada salah satu persamaan SPLTV sehingga diperoleh nilai variabel ketiga.

Kita akan coba menggunakan metode eliminasi pada soal berikut. 

1.Tentukan himpunan penyelesaian SPLTV-nya

2x + 3y – z = 20 … (1)

3x + 2y + z = 20 … (2)

X + 4y + 2z = 15 … (3)

SPLTV dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan mengeliminasi variabel z. Pertama, jumlahkan persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh:

2x + 3y – z = 20

3x + 2y + z = 20 +

5x + 5y = 40

x + y = 8 … (4)

Kemudian, kalikan 2 pada persamaan (2) dan kalikan 1 pada persamaan (1) sehingga diperoleh:

3x + 2y + z = 20 |x2 6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15 |x1 x + 4y + 2z = 15 –

5x = 25

x = 5

Setelah mengetahui nilai x, substitusikan ke persamaan (4) sebagai berikut.

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

Substitusikan nilai x dan y pada persamaan (2) sebagai berikut.

3x + 2y + z = 20

3(5) + 2 (3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -1

Sehingga diperoleh himpunan penyelesaian SPLTV (x, y, z) adalah (5, 3, -1).

2x + 5y – 3z = 3 … (1)

6x + 8y -5z = 7 … (2)

-3x + 3y + 4z = 15 … (3)

Eliminasikan variabel z menggunakan (1) dan (2):

2x + 5y – 3z = 3 |×5| ⇔ 10x + 25y – 15z = 15

6x + 8y -5z = 7 |×3| ⇔ 18x + 24y -15z = 21 –

-8x + y = -6 … (4)

Eliminasikan variabel z menggunakan (1) dan (3):

2x + 5y – 3z = 3 |×4| ⇔ 8x + 20y – 12z = 12

-3x + 3y + 4z = 15 |×3| ⇔-9x + 9y + 12z = 45 +

-x + 29y = 57 … (5)

Eliminasikan variabel y menggunakan (4) dan (5):

-8x + y = -6 |×29| ⇔ -232x + 29y = -174

-x + 29y = 57 |×1| ⇔ -x + 29y = 57 –

-231x = -231

x = 1

Substitusikan x ke (4):

-8x + y = -6

-8(1) + y = -6

-8 + y = -6

y = 8 – 6

y = 2

Kemudian, subsitusikan x dan y ke (1)

2x + 5y – 3z = 3

2(1) + 5(2) – 3z = 3

2 + 10 – 3z = 3

12 – 3z = 3

– 3z = 3 -12 = -9

z = -9/-3

z = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2, 3)}

2.Temukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut

x + y + z = -6

x + y – 2z = 3

x – 2y + z = 9

Pembahasan

x + y + z = -6 … (1)

x + y – 2z = 3 … (2)

x – 2y + z = 9 … (3)

Tentukan persamaan x melalui (1)

x + y + z = -6 ⇔ x = -6 – y – z … (4)

Substitusikan (4) ke (2)

x + y – 2z = 3

-6 – y – z + y – 2z = 3

-6 – 3z = 3

3z = -9

z = -3

Substitusikan (4) ke (3)

x – 2y + z = 9

-6 – y – z – 2y + z = 9

-6 – 3y = 9

– 3y = 15

y = 15/(-3)

y = -5

Substitusikan z dan y ke (1)

x + y + z = -6

x – 5 – 3 = -6

x – 8 = -6

x = 8 – 6

x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, -5, -3)}

3.Toko alat tulis pak rudi menjual alat tulis berisi buku, spidol, dan tinta dalam 3 jenis paket sebagai berikut.

Paket A: 3 buku, 1 spidol, 2 tinta seharga Rp 17.200

Paket B: 2 buku, 2 spidol, 3 tinta seharga Rp19.700

Paket C: 1 buku, 2 spidol, 2 tinta seharga Rp14.000

Hitunglah harga 1 buah masing-masing item !

Pembahasan

Misal:

b: harga 1 buah buku

s: harga 1 buah spidol

t: harga 1 buah tinta

Maka, model matematikanya adalah :

3b + s + 2t = 17.200 … (1)

2b + 2s + 3t = 19.700 … (2)

b + 2s + 2t = 14.000 … (3)

Eliminasikan variabel t menggunakan (1) dan (2):

3b + s + 2t = 17.200 |×3| ⇔ 9b + 3s + 6t = 51.600

2b + 2s + 3t = 19.700 |×2| ⇔ 4b + 4s + 6t = 39.400 –

5b – s = 12.200 … (4)

Eliminasikan variabel t menggunakan (1) dan (3):

3b + s + 2t = 17.200

b + 2s + 2t = 14.000 –

2b – s = 3.200

s = 2b – 3.200 … (5)

Substitusikan (5) ke (4):

5b – s = 12.200

5b – (2b – 3.200) = 12.200

5b – 2b + 3.200 = 12.200

3b = 12.200 – 3.200 = 9.000

b = 9.000 ÷ 3

b = 3.000

Substitusikan nilai b ke (5)

s = 2b – 3.200

s = 2(3.000) – 3.200

s = 6.000 – 3.200

s = 2.800

Substitusikan nilai b dan s ke (3)

b + 2s + 2t = 14.000

3.000 + 2(2.800) + 2t = 14.000

3.000 + 5.600 + 2t = 14.000

8.600 + 2t = 14.000

2t = 14.000 – 8.600 = 5.400

t = 5.400 ÷ 2

t = 2.700

Jadi, harga 1 buah buku adalah Rp3.000, 1 buah spidol adalah Rp2.800, dan 1 buah tinta adalah Rp2.700.

4. 3 bersaudara Lia, Ria, dan, Via berbelanja di toko buah. Mereka membeli Apel, Jambu, dan Mangga dengan hasil masing-masing sebagai berikut:

Lia membeli dua buah Apel, satu buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp47.000

Ria membeli satu buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp43.000

Via membelli tiga buah Apel, dua buah Jambu, dan satu buah Mangga seharga Rp71.000

Berapa harga 1 buah Apel, 1 buah Jambu, dan 1 buah Mangga?

Pembahasan

Misal:

a = Harga 1 buah Apel

j = Harga 1 buah Jambu

m = Harga 1 buah Mangga

Maka, model matematikanya adalah

2a + j + m = 47.000 … (1)

a + 2j + m = 43.000 … (2)

3a + 2j + m = 71.000 … (3)

Eliminasikan variabel j dan m menggunakan (2) dan (3):

a + 2j + m = 43.000

3a + 2j + m = 71.000 –

-2a = -28.000

a = 14.000

Eliminasikan variabel m menggunakan (1) dan (2), dan substitusikan nilai a:

2a + j + m = 47.000

a + 2j + m = 43.000 –

a – j = 4.000

j = a – 4.000

j = 14.000 – 4.000

j = 10.000

Substitusikan nilai a dan j ke (1):

2a + j + m = 47.000

2(14.000) + 10.000 + m = 47.000

28.000 + 10.000 + m = 47.000

38.000 + m = 47.000

m = 47.000 – 38.000

m = 9.000

Jadi, harga 1 buah Apel adalah Rp14.000, 1 buah Jambu adalah Rp10.000, dan 1 buah Mangga adalah Rp9.000.

5. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut.

3x – 6y + 12z = 60

2x -4y + 4z = 46

x – 2y + 4z = 15

Pembahasan

Sistem persamaan linear tiga variabel tersebut bisa disederhakan menjadi

3x – 6y + 12z = 60 |÷ 3| ⇔x – 2y + 4z = 20 … (1)

2x -4y + 4z = 46 |÷ 2| ⇔ x – 3y + 6z = 23 … (2)

x – 2y + 4z = 15 … (3)

Perhatikan bahwa (1) dan (3) mempunyai sisi kiri yang sama (x – 2y + 4z) namun sisi kanan berbeda (20 ≠ 15). Jadi SPLTV tersebut tidak mungkin terselesaikan.

Jadi, sistem persamaan linear tiga variabel tersebut tidak memiliki himpunan penyelesaian.

Demikian beberapa contoh soal SPLTV beserta jawaban dan pembahasannya. Semoga dengan mempelajari soal-soal di atas, anda bisa semakin mahir dalam menyelesaikan persoalan sistem persamaan linear tiga variabel lainnya.