SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

Nama: Siti NurJanah

Kelas: X IPS 2

No Absen: 34

       SISTEM PERSAMAAN LINEAR 

             TIGA VARIABEL (SPLTV)

Soal Cerita Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Contoh 1

Sebuah pertunjukan seni disaksikan sejumlah penonton oleh 20% anak-anak, sepertiga penonton pria dewasa dan sisanya penonton wanita dewasa. Jika banyak penonton wanita dewasa 200 lebih dari banyak penonton pria dewasa, jumlah semua penonton pertunjukan adalah ...

Penjelesaian :

Misalkan : x = banyak penonton anak-anak

                 y = banyak penonton pria dewasa

                 z = banyak penonton wanita dewasa

Jumlah penonton = x + y + z.

Persamaan yang dibuat

x = 20% (x + y + z)

x = 1/5 (x + y + z)

5x = x + y + z

4x – y – z = 0 pers . . . (1)

y = 1/3 (x + y + z)

3y = x + y + z

x – 2y + z = 0 pers . . . (2)

z = 200 + y pers . . . (3)

Eliminasi persamaan (1) dan (2).

4x – y – z = 0 |× 1| 4x – y – z = 0

x – 2y + z = 0 |×4| 4x – 8y + 4z = 0

                              –––––––––––––– –

                                       7y – 5z = 0 . . . (4)

Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (4).

7y – 5z = 0

7y – 5(200 + y) = 0

7y – 1.000 – 5y = 0

2y = 1.000

y = 500

Substitusikan y = 500 ke dalam persamaan (3).

z = 200 + y

z = 200 + 500

z = 700

Substitusikan y = 500 dan z = 700 ke dalam persamaan (2).

x – 2y + z = 0

x – 2 × 500 + 700 = 0

x – 1.000 + 700 = 0

x – 300 = 0

x = 300

Jumlah penonton = 300 + 500 + 700 = 1.500.

Jadi, jumlah penonton pertunjukan 1.500 orang.

Contoh 2

Raisa dan Sekar secara bersamaan membutuhkan waktu 12 menit untuk mencetak foto. Sekar dan Aira membutuhkan 15 menit untuk menyelesaikan pekerjaan yg sama . Sedangkan Raisa dan Aira membutuhkan waktu 20 menit untuk mencetak foto. Berapa waktu yg di perlukan oleh Raisa, Sekar, Aira untuk mencetak foto yang sama secara bersama-sama adalah ... menit.

Penyelesaian :

Raisa = 1/x bagian

Sekar = 1/y bagian

Aira = 1/z bagian

buat persamaan dari penyataan diatas

1/x + 1/y = 1/12 ... pers I

1/y + 1/z = 1/15 ... pers II

1/x + 1/z = 1/20 ... pers III

Jumlahkan persamaan I, II, dan III, untuk menentukan waktu secara bersama-sama

 1/x + 1/y = 1/12

         1/y + 1/z = 1/15

 1/x + 1/z = 1/20

------------------------------ +

2(1/x) + 2(1/y) + 2(1/z) = 1/12 + 1/15 + 1/20

      2 (1/x + 1/y + 1/z) = 5/60 + 4/60 + 3/60

      2 (1/x + 1/y + 1/z) = 12 / 60

           1/x + 1/y + 1/z = 12/60 × 1/2

            1/x + 1/y + 1/z = 6 / 60

                             1/t = 1/10

                               t = 10

Jadi waktu yg di perlukan oleh Raisa, Sekar, Aira untuk mencetak foto yang sama secara bersama-sama adalah 10 menit.

Contoh 3

Diketahui :

Ali ⇒ 2 buku + 1 pensil + 1 penghapus = Rp 4.700

Badar ⇒ 1 buku + 2 pensil + 1 penghapus = Rp 4.300

Carli ⇒ 3 buku + 2 pensil + 1 penghapus = Rp 7.100

Ditanya :

harga untuk sebuah buku, sebuah pensil dan sebuah penghapus ?

Jawab :

Misal : buku = x

           pensil = y

           penghapus = z

2x + y + z = 4700 .... pers I

x + 2y + z = 4300 ... pers II

3x + 2y + z = 7100 ... pers III

Eliminasi pers I dan II

2x + y + z = 4700

x + 2y + z = 4300

--------------------------- --

x - y = 400 .... pers IV

Eliminasi pers II dan III

x + 2y + z = 4300

3x + 2y + z = 7100

--------------------------- --

-2x = -2800

              x = -2800/-2

              x = 1400

Subtitusi x = 1400 ke dalam pers IV

x - y = 400

1400 - y = 400

          y = 1400 - 400

          y = 1000  

Subtitusi x = 1400 dan y = 1000 ke dalam pers I

2x + y + z = 4700

2 (1400) + 1000 + z = 4700

2800 + 1000 + z = 4700

3800 + z = 4700

            z = 4700 - 3800

            z = 900

Jadi harga sebuah buku = Rp 1400, sebuah pensil = Rp 1000 dan sebuah penghapus = Rp 900

Contoh 4

diketahui :

4/x + 3/y + 1/z = 9

3/x - 4/y + 2/z = 3

2/x + 5/y - 1/z = 5

ditanya : 

tentukan 12xyz

Jawab :

4/x + 3/y + 1/z = 9  

3/x - 4/y + 2/z = 3   

2/x + 5/y - 1/z = 5

untuk memudahkan kita ubah bentuk pecahannya.

misalkan :

1/x = a

1/y = b

1/z = c

4a + 3b + c = 9 ... pers I

3a - 4b + 2c = 3 ... pers II

2a + 5b - c = 5 ... pers III

eliminasikan c dari pers I dan III

4a + 3b + c = 9

2a + 5b - c = 5

-------------------- +

6a + 8b = 14 ... pers IV

eliminasikan c dari pers II dan III

3a - 4b + 2c = 3 |×1| 3a - 4b + 2c = 3

2a + 5b - c = 5 |×2| 4a + 10b - 2c = 10

                                   -------------------------- +

                                    7a + 6b = 13 .... pers V

eliminasikan b dari pers IV dan V

6a + 8b = 14 |×3| 18a + 24b = 42

7a + 6b = 13 |×4| 28a + 24b = 52

                               -------------------- -

                               -10a = -10

                                              a = -10/-10

                                              a = 1

subtitusikan a = 1 ke dalam pers IV

6a + 8b = 14

6 (1) + 8b = 14

6 + 8b = 14

      8b = 14 - 6

      8b = 8

        b = 8/8

        b = 1

subtitusikan a = 1 dan b = 1 ke dalam pers I

4a + 3b + c = 9

4 (1) + 3 (1) + c = 9

4 + 3 + c = 9

            c = 9 - 4 - 3

            c = 2

masukan nilai a, b, dan c kedalam pecahan

1/x = a

1/x = 1

   x = 1

1/y = b

1/y = 1

   y = 1

1/z = c

1/z = 2

2z = 1

  z = 1/2

HP = {(1 , 1 , 1/2)}

Nilai 12 x y z = 12 × 1 × 1 × 1/2

                      = 6

Jadi nilai 12xyz adalah 6

Contoh 5

Fira, Devy, dan Selly pergi bersama-sama ke toko buah. Fira membeli 2 kg apel, 2 jeruk dan 1 kg pir dengan harga Rp.67.000,00. Devy membeli 3 kg apel, 1 kg jeruk, dan 1 kg pir dengan harga Rp.61.000,00. Dan selly membeli 1 kg apel, 3 kg jeruk, dan 2 kg pir dengan harga Rp.80.000,00. Maka tentukanlah 1 kg apel, 1 kg jeruk, dan 4 kg pir.

Pembahasan :

misalkan: 

Apel = x

Jeruk = y 

Pir = z

Sistem persamaan linear :

1) 2x + 2y + z = 67.000

2) 3x + y + z = 61.000

3) X + 3y + 2z = 80.000

Ditanya : x + y + 4z = ...?

Persamaan 1 dan 2 

2x + 2y + z = 67.000

3x + y + z = 61.000 –

-x + y = 6.000 (persamaan 4)

Persamaan 2 dan 3

3x + y + z = 61.000|x2| 6x + 2y + 2z = 122.000

X + 3y + 2z = 80.000|x1| x + 3y + 2z = 80.000 -

          5x – y = 42.000 (persamaan 5)

Persamaan 4 dan 5

5x – y = 42.000

-x + y = 6.000 +

      4x = 48.000

        x = 12.000

jika –x + y = 6.000

= - 12.000 + y = 6.000

                      Y = 6.000 + 12.000

   = 18.000

Jika 2x + 2y + z = 67.000

= 2 . (12.000) + 2 . (18.000) + z = 67.000

   24.000 + 32.000 + z = 67.000

   z = 67.000 - 24.000 - 32.000

z = 7.000

jadi untuk x + y + 4z adalah 

= 12.000 + 18.000 + 4 . (7.000)

= Rp.58.000,00

Contoh 6

Pada sebuah toko buku kia membeli 4 buku, 2 pulpen, 3 pensil dengan harga Rp. 26.000,00. Dina membeli 3 buku, 3 pulpen, 1 pensil dengan harga Rp.21.000,00. Dika membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp.12.000,00. Jika didin membeli 2 pulpen dan 3 pensil , maka tentukan biaya yang dikeluarkan oleh didin. 

Pembahasan :

misalkan: 

Buku = x

Pulpen = y 

Pensil = z

Sistem persamaan linear :

1) 4x + 2y + 3z = 26.000

2) 3x + 3y + z = 21.000

3) 3x + z = 12.000

Ditanya : 2y + 3z = ...?

Persamaan 2 dan 3 

3x+3y+z = 26.000

3x + z = 12.000 –

3y = 3.000 (persamaan 4)

Persamaan 1 dan 2

4x + 6.000 + 3z = 26.000| 4x + 3z = 20.000 |x3| 12x + 9z = 60.000

3x + 9.000 + z = 21.000 | 3x + z = 12.000 |x4|12x + 4z = 48.000

                                                                5z = 12.000 (persamaan 5)

        Z = 2.400

jadi untuk 2y + 3z adalah 

= 2 . (3.000) + 3 . (2.400)

= 6.000 + 7.200

= Rp.13.200,00

Contoh 7

jumlah uang dani, dini, dudi, Rp.150.000,00 jumlah uang dani dan dini Rp.30.000,00 kurang dari dua kali uang dudi. Jumlah uang dani dan dudi Rp.30.000,00 lebih dari dua kali uang dini 

jadi berapa uang dani, dini, dan dudi ? 

pembahasan :

x = dani

y = dini

z = dudi

1) x + y + z = 150.000 . . . (1)

2) x + y = 2z - 30.000

x + y + 2z = -30.000 . . . (2)

3) x + z = 2y + 30.000

x - 2y + z = 30.000 . . . (3)

jawab :

 x + y + z = 150.000

x – 2y + z = 30.000 -

    3y = 120.000

      y = 40.000

x + y + z = 150.000

x + y – 2z = 30.000 –

     3z = 120.000

      z = 40.000

x + y + z = 150.000

x + 40.000 + 40.000 = 150.000

x = 150.000 – 80.000 

x = 60.000,00

jadi uang dani= Rp.60.000,00 dini=Rp. 40.000,00 dudi=Rp.40.000,00

Contoh 8

Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,-

Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 . buah jeruk ?

Jawab :

Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model matematika.

Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y

Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :

2x + 3 y = 6000

5x + 4 y = 11500

Ditanya 4 x + 5 y = ?

Kita eliminasi variable x :

2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000

5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000 - ( karena x persamaan 1 dan 2 +)

7y = 7000

y = 1000

masukkan ke dalam suatu persamaan :

2x + 3 y = 6000

2x + 3 . 1000 = 6000

2x + 3000 = 6000

2x = 6000 – 3000

2x = 3000

x = 1500

didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)

sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk

adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000

= 6000 + 5000 = Rp. 11.000,00

Contoh 9

Ali, Badar, dan Carli berbelanja di sebuah toko buku.

Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus.

Ali harus membayar Rp4.700.

Badar membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus.

Badar harus membayar Rp4.300

Carli membeli tiga buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus.

Carli harus membayar Rp7.100

Berapa harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus?

Penyelesaian:

■ Misalkan bahwa:

Harga untuk sebuah buku tulis adalah x rupiah,

Harga untuk sebuah pensil adalah y rupiah dan

Harga untuk sebuah penghapus adalah z rupiah.

■ Dengan demikian, model matematika yang sesuai dnegan data persoalan di atas adalah sebagai berikut.

2x + y + z = 4.700

x + 2y + z = 4.300

3x + 2y + z = 7.100

yaitu merupakan SPLTV dnegan variabel x, y, dan z.

Contoh 10

Sebuah bilangan terdiri atas 3 angka. Jumlah ketiga angkanya sama dengan 16. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga dikurangi dua. Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali jumlah ketiga angkanya kemudian ditambah dengan 13. Carilah bilangan itu.

Penyelesaian:

Misalkan bilangan itu xyz, x menempati tempat ratusan, y menempati tempat puluhan, dan z menempati tempat satuan. Jadi, nilai bilangan itu 100x + 10y + z. Berdasarkan data pada soal, diperoleh SPLTV sebagai berikut.

x + y + z = 16

x + y = z – 2

100x + 10y + z = 21(x + y + z) + 13

Atau bisa kita ubah menjadi bentuk berikut.

x + y + z = 16

x + y – z = –2

79x – 11y – 20z = 13

Contoh 11

Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan apel. Seseorang yang membeli 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel harus membayar Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus membayar Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kg jeruk, 2 kg salak, dan 3 kg apel harus membayar Rp36.500,00. Berapakah harga per kilogram salak, harga per kilogram jeruk, dan harga per kilogram apel?

Penyelesaian:

Misalkan harga per kilogram jeruk x, harga per kilogram salak y, dan harga per kilogram apel z. Berdasarkan persoalan di atas, diperoleh sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

x + 3y + 2z = 33.000

2x + y + z = 23.500

x + 2y + 3z = 36.500

Contoh 12

Subtitusikan y = z – 3.500 ke persamaam 5y + 3z = 42.500 sehingga diperoleh:

⇒ 5y + 3z = 42.500

⇒ 5(z – 3.500) + 3z = 42.500

⇒ 5z – 17.500 + 3z = 42.500

⇒ 8z – 17.500 = 42.500

⇒ 8z = 42.500 + 17.500

⇒ 8z = 42.500 + 17.500

⇒ 8z = 60.000

⇒ z = 7.500

Subtitusikan nilai z = 7.500 ke persamaan y = z – 3.500 sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut.

⇒ y = z – 3.500

⇒ y = 7.500 – 3.500

⇒ y = 4.000

Terakhir subtitusikan nilai y = 4.000 dan nilai z = 7.500 ke persamaan x + 3y + 2z = 33.000 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ x + 3y + 2z = 33.000

⇒ x + 3(4.000) + 2(7.500) = 33.000

⇒ x + 12.000 + 15.000 = 33.000

⇒ x + 27.000 = 33.000

⇒ x = 33.000 – 27.000

⇒ x = 6.000

Dengan demikian, harga 1 kg jeruk adalah Rp6.000,00; harga 1 kg salak adalah Rp4.000,00; dan harga 1 kg apel adalah Rp7.500,00.

Contoh 13

Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama dengan 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan lainnya. Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan yang lain dikurang empat. Carilah bilangan-bilangan itu.

Penyelesaian:

Ketiga bilangan adalah a, b, dan c. Ketentuan soal adalah sebagai berikut:

■ Rata-rata ketiga bilangan sama dengan 16 berarti:

(a + b + c)/3 = 16

Apabila kedua ruas kita kalikan 3 maka:

a + b + c = 48

■ Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan lain berarti:

b + 20 = a + c

atau bisa kita tuliskan sebagai berikut.

a – b + c = 20

■ Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan lain dikurang 4 berarti:

c = a + b – 4

atau bisa kita tuliskan sebagai berikut.

a + b – c = 4

Sampai sini kita peroleh SPLTV sebagai berikut.

a + b + c = 48

a – b + c = 20

a + b – c = 4

Contoh 14

Subtitusikan nilai b = 14 dan nilai c = 22 ke persamaan a + b – c = 4 sehingga diperoleh nilai a yaitu sebagai berikut.

⇒ a + b – c = 4

⇒ a + 14 – 22 = 4

⇒ a – 8 = 4

⇒ a = 4 + 8

⇒ a = 12

Jadi, ketiga bilangan tersebut berturut-turut adalah 12, 14, dan 22.

Contoh 15

Suatu bilangan terdiri atas tiga angka. Jumlah ketiga angka itu sama dengan 9. Nilai bilangan itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya. Angka ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 3. Carilah bilangan itu.

Penyelesaian:

Misalkan bilangan yang dimaksud adalah abc, dengan a menempati tempat ratusan, b menempati tempat puluhan dan c menempati tempat satuan. Ketentuan dalam soal adalah sebagai berikut.

■ Jumlah ketiga angka sama dengan 9 berarti:

a + b + c = 9

■ Nilai bilangan itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya berarti:

100a + 10b + c = 14(a + b + c)

100a + 10b + c = 14a + 14b + 14c

100a – 14a + 10b – 14b + c – 14c = 0

86a – 4b – 13c = 0

■ Angka ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 3 berarti:

c – b – a = 3

atau bisa kita tulis sebagai berikut

a + b – c = −3

Dari sini kita peroleh SPLTV sebagai berikut.

a + b + c = 9

86a – 4b – 13c = 0

a + b – c = −3