Luas Segi-n Beraturan, Jari-jari liingkaran dalam/luar segitiga, Garis singgung persekutuan luar/dalam lingkaran dan soal serta penyelesaiannya

Nama: Siti NurJanah
Kelas: X IPS 2
Absen: 34

Luas Segi-n Beraturan
Pada segi-n beraturan

Setiap segi n beraturan bisa kita bagi menjadi n buah segitiga yang kongruen

Setiap titik sudut pada segi n beraturan bisa dilalui sebuah lingkaran, lingkaran ini disebut lingkaran luar segi n. Semuat titik sudut akan dilewati lingkaran (tidak ada yang tertinggal).

Menghitung luas segi n beraturan akan lebih mudah jika diketahui jari-jari lingkaran luarnya
Setiap segi n bisa dibagi menjadi n buah segitiga yang kongruen seperti pada gambar di atas.

Selanjutnya kita ambil salah satu segitiganya
Besar sudut A adalah 

Luas segitiga adalah

LΔ = ½ .R.R sin A

Luas segi n beraturan adalah

Ln = n. LΔ

Rumus ini merupakan rumus luas segi n beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran luarnya.

Bagaimana jika diketahui sisinya ?

Pertama kita cari dulu hubungan antara jari-jari lingkaran luar (R) dengan sisinya (a)
Dengan aturan cosinus maka

a2 = R2 + R2 — 2R.R cos A

a2 = 2R2 — 2R2 cos A

a2 = R2(2 — 2cos A)

Luas segi n :


Jadi luas segi n beraturan yang panjang sisinya a adalah


Rumus Jari-jari Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga

Jika sudah ketemu jari-jarinya, untuk mencari luas segitiganya sobat tinggal memasukkannya ke rumus luas lingkaran

L = Phi r2

Lingkaran Dalam Segitiga
Sebuah lingkaran dapat sobat buat dalam sebuah segitiga. Caranya, buatlah garis bagi simetris dari masing-masing segitiga. Garis bagi adalah garis yang membagi sudut segitia tersebut sama besar (Bagaiaman cara membuat garis bagi akan kita bahas nanti). Dari titik perpotongan ketiga garis bagi tersebut dapat dibuat sebuah lingkaran. Titik potong ketiga garis bagiakan menjadi pusat lingkaran dan kelilingnya akan tepat menyinggung masing-masing sisi segitiga.

Jari-Jari Lingkaran Dalam

Perhatikan gambar di atas, jari-jari lingkarang yang akan kita cari adalah OE = OF = OD. Ketiganya sama dengan tinggi dari segitiga 1, 2 da 3.

Luas Segitiga Besar = Luas ΔI + Luas ΔII + Luas ΔIII

——————- = 1/2 (AB x OD) + 1/2 ( CB x OE) + 1/2 (AC x OF)

——————- = 1/2 (AB x r) + 1/2 (CB x r) + 1/2 (AC x r)

——————- = 1/2 r (AB + CB + C)

——————- = 1/2. r. Keliling Segitiga (setengah keliling bisa dilambangkan dengan s?)

——————- = r. S

Jadi

L = r . S
r = L/S

jadi, jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga dengan 1/2 kelilingnya. Sekarang yang menjadi masalah adalah bagaimana mencari luas segitiganya? Karena segitiga di atas adalah segitiga sembarang sobat bisa menggunakan rumus


Jadi rumus jari-jari lingkaran dalam menjadi:

dengan
L = Luas Segitiga
S = 1/2 keliling Δ = 1/2 (a+b+c)

Rumus di atas tergantung jenis segitiga. Kalau segitiga siku-siku akan lebih enak mencari luasnya dengan rumus 1/2 alas kali tinggi daripada menggunakan s.

Lingkaran Luar Segitiga
Lingkaran luar segitiga adalah lingkran yang dibentuk dari perpanjangan garis bagi tiga sisi segitiga dan kelilinya akan tepat menyinggung tiga titi sudut segitiga yang ada di dalamnya. Perhatikan gambar di bawah ini

Pada gambar diatas, terdapat sebuah segitiga ABC dengan dengan sisi a,b, dan c. Ada lingkaran luar yang berpusat di titik O yang mengitari segitiga tersebut. OA, OB, OC. dan OD masing-masing adalah jari-jari lingkaran luar yang akan kita cari rumusnya. Untuk membantu menemukan rumus jari-jari, kita memakai garis bantu yaitu garis tinggi segitiga CT dan garis diameter yang ditarik dari titik C (garis CD).

Coba sobat perhatikan ΔCAD dengan ΔCTB

∠CAD = ∠CTB = 90o (ingat sifat sudut keliling yang menghadap diameter sama dengan 90º)

∠ADC = ∠TBC (ingat bahwa dua sudut keliling yang menghadap busur lingkaran yang sama adalah sama besar)

Karena ada dua pasang sudut yang sama maka bisa disimpulkan bahwa ΔCAD dan ΔCTB sebagung (kongruen). Karena sebangun maka perbandingan sisi-sisinya akan sama.

BC/CD = CT/AC
CD (diameter) = BC x AC / CT
CD (diameter) = a x b / CT……. (persamaan 1)

Nilai CT bisa kita cari dengan persamaan Luas

Luas ΔABC = 1/2 AB x CT
2 Luas ΔABC = AB x CT
CT = 2 Luas ΔABC / AB
CT = 2L/ c……..(persamaan 2)

Kita masukkan persamaan 2 ke persamaan 1

CD = a x b / CT
CD = a x b / (2L/c)
CD = a x b x c / 2L

Jari-jari = 1/2 CD
r = 1/2 CD = a x b x c / 4L

a,b,dan c = sisi-sisi segitiga
L = luas segitiga

Itulah tadi sobat, rumus jari-jari lingkaran luar dan jari-jari lingkaran dalam sebuah segitiga.

Soal dan Pembahasan Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

Soal 1

Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 12, dan 16 cm. Hitunglah:

a. Jari-jari lingkaran dalam segitiga
b. Keliling lingkaran dalam segitiga
c. Luas lingkaran dalam segitiga

Penyelesaian:

a. Untuk menjawab soal ini sama caranya seperti cara menjawab soal no 2 di atas.
Misalkan a = 8, b = 12, dan c = 16

s = ½ keliling segitiga
s = ½ (a + b + c)
s = ½ (8 + 12 + 16)
s = 18 cm

L Δ = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
L Δ = √(18(18-8)(18-12)(18-16))
L Δ = √(18(10)(6)(2))
L Δ = √2160
L Δ = 46,48 cm2

r = L Δ/s
r = 46,48 cm2/18 cm
r = 2,58 cm

b. Untuk mencari keliling lingkaran kita gunakan rumus keliling lingkaran yaitu:

K = 2πr
K = 2 x 3,14 x 2,58 cm
K = 16,20 cm

c. untuk mencari luas lingkaran gunakan rumus luas lingkaran yaitu:

L = πr2
L = 3,14 x (2,58 cm)2
L = 20,9

Soal 2

Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 9 cm, 11, dan 18 cm. Hitunglah:

a. Jari-jari lingkaran dalam segitiga
b. Keliling lingkaran dalam segitiga
c. Luas lingkaran dalam segitiga

Penyelesaian:

Soal ini sama seperti soal 3 hanya saja angkanya saja diganti.

a. Untuk menjawab soal ini sama caranya seperti cara menjawab soal no 2 di atas.
Misalkan a = 9, b = 11, dan c = 18
s = ½ keliling segitiga
s = ½ (a + b + c)
s = ½ (9 + 11 + 18)
s = 19 cm

L Δ = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
L Δ = √(19(19-9)(19-11)(19-18))
L Δ = √(19(10)(8)(1))
L Δ = √1520
L Δ = 38,99 cm2

r = L Δ/s
r = 38,99 cm2/19 cm
r = 2,05 cm

b. Untuk mencari keliling lingkaran kita gunakan rumus keliling lingkaran yaitu:

K = 2πr
K = 2 x 3,14 x 2,05 cm
K = 12,87 cm

c. untuk mencari luas lingkaran gunakan rumus luas lingkaran yaitu:

L = πr2
L = 3,14 x (2,05 cm)2
L = 13,20 cm2

Soal 3
Pada gambar di bawah ini!


OD adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC. Jika AB = 13 cm, BC = 9 cm, dan AC = 6 cm, hitunglah:

a. Luas segitiga ABC
b. Panjang OD
c. Luas lingkaran
d. Luas daerah yang diarsir

Penyelesaian:

a. Untuk mencari luas sama seperti mencari luas pada soal no 4 di atas, misalkan:
BC = a = 9
AC = b = 6
AB = c = 13

s = ½ keliling ΔABC
s = ½ (a + b + c)
s = ½ (9 + 6 + 13)
s = 14 cm

Luas ΔABC = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
Luas ΔABC = √(14(14-9)(14-6)(14-13))
Luas ΔABC = √(14(5)(8)(1))
Luas ΔABC = √560
Luas ΔABC = 23,66 cm2

Jadi Luas segitiga ABC adalah 23,66 cm2

b. panjang OD dapat di cari dengan menggunakan rumus mencari jari-jari lingkaran dalam segitiga, yaitu:

r = Luas ΔABC/s
OD = Luas ΔABC/s
OD = 23,66 cm2/14 cm
OD = 1,69 cm

c. Untuk mencari luas lingkaran seperti biasa kita gunakan rumus luas lingkaran, yaitu:

L = πr2
L = 3,14 x (1,69 cm)2
L = 8,97 cm2

d. Luas daerah yang diarsir dapat dicari dengan cara mengurangkan luas segitiga dengan luas lingkaran, yakni

L. arsir = Luas ΔABC – Luas Lingkaran
L. arsir = 14,69 cm2




Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

SUDUT - SUDUT BERELASI DAN BEBERAPA CONTOH SOAL

Nama: Siti NurJanah Kelas: X IPS 2 Absen: 34 Pengertian Sudut - Sudut Berelasi Sudut - sudut Berelasi --- Adalah perluasan definisi dasar ilmu trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku yang memenuhi untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 − 90°). Berikut adalah keterangan lengkap dengan rumus sudut berelasi. Untuk lebih jelasnya sima pembahasan dibawah ini Rumus Sudut Berelasi Dengan memakai sudut-sudut relasi, kita mampu menghitung nilai perbandingan pada trigonometri untuk sudut pada kuadran lainnya, bahkan untuk sudut yang lebih dari 360°, termasuk juga sudut negatif. Sudut Relasi Kuadran I Untuk α lancip, maka (90° − α) menghasilkan sudut-sudut kuadran I. Di dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut : sin (90° − α) = cos α cos (90° − α) = sin α tan (90° − α) = cot α Sudut Relasi Kuadran II Untuk α lancip, maka (90° + α) dan (180° − α) menghasilkan sudut-sudut kuadran II.alam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut : sin...
Baca selengkapnya

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAAMAN RASIONAL DAN IRASIONAL

Gambar
Nama: Siti NurJanah Kelas: X IPS 2 Matematika wajib PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL •Pertidaksamaan bentuk hasil bagi •Pertidaksamaan polinomial (suku banyak) •Pertidaksamaan irasional, •Pertidaksamaan rasional, •Pertidaksamaan nilai mutlak •Pertidaksamaan bentuk hasil bagi, •Pertidaksamaan polinomial (suku banyak),  •Pertidaksamaan irasional, Pertidaksamaan rasional, •Pertidaksamaan nilai mutlak Contoh dari masing-masing pertidaksamaan adalah sebagai berikut :  a. Pertidaksamaan bentuk hasil bagi:  b. Pertidaksamaan polinomial (suku banyak):  c. Pertidaksamaan irasional: d. Pertidaksamaan nilai mutlak: Bilangan Rasional Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang bisa diubah dalam bentuk pecahan ab dengan a dan b merupakan bilangan bulat.  Ciri-ciri bilangan rasional adalah sebagai berikut:  Dapat dinyatakan sebagai pecahan biasa. Contoh : 2, -1, ½, ………., dst Dapat dinyatakan ...
Baca selengkapnya

LUAS SEGITIGA DENGAN TRIGONOMETRI, ATURAN SINUS DAN ATURAN COSINUS

Gambar
Nama: Siti NurJanah Kelas:X IPS 2 Absen: 34 Aturan Sinus Aturan sinus berbunyi bahwa perbandingan panjang sisi sebuah segitiga dengan sinus sudut yang menghadapnya memiliki nilai yang sama. Lebih jelasnya pada gambar dibawah ini Keterangan A = besar sudut di hadapan sisi a a = panjang sisi a B = besar sudut di hadapan sisi b b = panjang sisi b C = besar sudut di hadapan sisi c c = panjang sisi c AP ┴ BC BQ ┴ AC CR ┴ AB Perhatikan segitiga ACR Sin A = CR/b maka CR = b sin A …(1) Perhatikan segitiga BCR Sin B = CR/a maka CR = a sin B …. (2) Perhatikan segitiga ABP Sin B = AP/c maka AP = c sin B … (3) Perhatikan segitiga APC Sin C = AP/b maka AP = b sin C …(4) Berdasarkan persamaan (1) dan (2) didapat CR = b sin A = a sin B maka a/sin A = b/sin B …(5) Berdasarkan persamaan (3) dan (4) didapat AP = c sin B = b sin C maka b/sin B = c/sin C …(6) Kemudian, berdasarkan persamaan (5) dan (6) diperoleh a/sin A = b/sin B = c/sin C Persamaan ini yang kemudian disebut dengan aturan sinu...
Baca selengkapnya